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Il problema dei tre corpi è una categoria di problemi della dinamica di base legati alla meccanica classica

Cos’è il “Problema dei tre corpi per la fisica”? Il problema dei tre corpi è una categoria di problemi della dinamica di base legati alla meccanica classica. Si tratta, in generale, di calcolare l’evoluzione futura di un sistema composto da tre corpi, data la loro posizione iniziale, massa e velocità, tutti soggetti alla reciproca attrazione gravitazionale.

Descrizione del problema dei tre corpi per la fisica

Si potrebbe pensare che il calcolo del moto di tre corpi si possa effettuare risolvendo le equazioni differenziali ordinarie derivanti dalle leggi del moto di Isaac Newton, come avviene normalmente per due corpi. Tuttavia, si dimostra che la soluzione generale delle equazioni dinamiche di un sistema gravitazionale a tre corpi, pur esistendo ed essendo analitica, non può essere scritta in una forma esplicita più semplice delle equazioni originali.

Soluzioni esplicite si trovano solo per casi particolari, come descritto nella sezione seguente, mentre soluzioni approssimate si ottengono introducendo varie semplificazioni. Queste semplificazioni rientrano in due grandi categorie:

• Soluzioni numeriche, dove un calcolatore determina approssimativamente l’evoluzione del sistema.
• Soluzioni basate su perturbazioni.

In entrambi i casi, il risultato è valido solo per un periodo di tempo determinato, oltre il quale il comportamento del sistema, essendo caotico, diverge in modo imprevedibile.

Problema dei tre corpi semplificato

Il problema dei tre corpi è stato studiato in varie versioni semplificate da diversi matematici e fisici illustri nel corso dei secoli. Jean Sylvain Bailly ha esplorato il tema nel XVIII secolo nel suo Saggio sulla teoria dei satelliti di Giove, mentre Joseph-Louis Lagrange, Henri Poincaré e Tullio Levi-Civita hanno contribuito significativamente con le loro ricerche nei secoli successivi.

Il lavoro di Poincaré, in particolare, ha dato origine alla teoria del caos deterministico e ai sistemi complessi, derivanti dallo studio del problema dei tre corpi.

Un caso semplificato si concentra su sistemi di corpi, come pianeti, in moto circolare reciproco, dove uno ha una massa trascurabile rispetto agli altri due. In questo contesto, esistono cinque punti di equilibrio noti come punti Lagrangiani. Tre di questi punti (L1, L2, L3) si trovano lungo la linea retta tra i due corpi principali, con uno situato tra di essi e due esterni; questi punti sono instabili. Gli altri due punti (L4 e L5) sono posizionati sull’orbita del pianeta di massa intermedia, formando con esso due triangoli equilateri in relazione ai corpi maggiori. In certe condizioni di rapporto tra le masse dei corpi maggiori, L4 e L5 diventano punti di equilibrio stabili, come nel caso degli asteroidi troiani che orbitano attorno a Giove.

Un altro caso semplificato è quello formulato da Eulero nel 1760, dove un corpo si muove nel campo gravitazionale generato da altre due masse fisse. Questo problema è solubile analiticamente ma richiede l’uso di integrali ellittici per essere risolto.

Nel 1912, il matematico Karl Frithiof Sundman ha sviluppato una serie infinita convergente che fornisce una soluzione al problema dei tre corpi semplificato. Tuttavia, questa serie richiede un numero estremamente elevato di termini (nell’ordine dei 108.000.000) per ottenere una precisione adeguata nei calcoli, rendendola impraticabile per applicazioni pratiche.

Il problema dei due corpi

Nel 1687 Isaac Newton pubblicò i suoi Principia Mathematica, un’opera fondamentale per la fisica e la matematica. Tra i vari argomenti trattati, uno dei più rivoluzionari fu il problema della gravitazione. Secondo Newton, due corpi nello spazio si attraggono reciprocamente con una forza gravitazionale che aumenta con le loro masse e diminuisce con il quadrato della distanza che li separa. Questo concetto, descritto dall’equazione della gravitazione universale, risolveva il “problema dei due corpi“. Newton dimostrò che i due corpi orbitano attorno al baricentro del sistema in orbite ellittiche, con il baricentro in uno dei fuochi dell’orbita ellittica.

Da due a tre corpi

Newton si trovò di fronte a una complessità crescente quando passò dal considerare due a tre corpi legati dalla gravità. Non riuscì a sviluppare un’equazione che potesse descrivere accuratamente questo fenomeno. Questa difficoltà ha affascinato i matematici per molti anni. Nel 1892, Henri Poincaré dimostrò che non esiste una soluzione definitiva per il problema dei tre corpi: il movimento di tre corpi soggetti alla gravità è imprevedibile. Nonostante ciò, sono state trovate soluzioni pratiche per gestire situazioni simili, ad esempio per prevedere il comportamento delle sonde spaziali in orbita attorno ai pianeti o tra la Terra e la Luna.

La soluzione di Sundman

Nel 1915, il matematico finlandese Karl Sundman pubblicò la prima soluzione teorica del problema dei tre corpi. Questa non contraddiceva quanto dimostrato da Poincaré, il quale aveva sostenuto che non esisteva una soluzione chiusa del problema, cioè una legge che, con un numero finito di termini, potesse descrivere la gravità. Rimanevano invece le soluzioni aperte, costituite da serie infinite di numeri. La soluzione di Sundman rientrava in questa categoria. Sebbene significativa, la soluzione di Sundman non aveva utilità pratica: per descrivere la dinamica del sistema con le sue equazioni, occorreva un numero immenso di termini della serie, rendendo il processo ingovernabile per qualsiasi applicazione pratica. Tuttavia, con l’avvento dei primi computer, la situazione sarebbe cambiata.

Il problema ristretto

I computer ci permettono di affrontare il problema in modo diverso. Con i computer, non cerchiamo una soluzione analitica come quella di Newton, ma una soluzione numerica. Utilizzando una sequenza di approssimazioni successive, riusciamo a ricostruire la dinamica del sistema anche senza un’equazione precisa che descriva il problema. Queste soluzioni approssimate sono sufficienti per comprendere cosa accade ai tre corpi. Questo approccio è particolarmente utile nel caso del problema dei tre corpi “ristretto”, una situazione semplificata in cui ci sono due corpi principali, la cui attrazione reciproca è ben descritta dal problema dei due corpi, a cui si aggiunge un terzo corpo insignificante dal punto di vista gravitazionale. È un caso molto comune, come nei sistemi Terra-Sole-sonda, Terra-Luna-sonda o Giove-Sole-asteroide.

Fionde gravitazionali e punti lagrangiani

Le soluzioni numeriche al problema dei tre corpi ristretto hanno rivelato aspetti cruciali per l’esplorazione spaziale. Queste soluzioni sono utilizzate, ad esempio, per calcolare le orbite lunari nelle missioni del programma Artemis. Inoltre, hanno portato alla scoperta dei punti di Lagrange, ossia quei punti nello spazio dove la gravità di due corpi principali si equilibra. Un esempio è il telescopio spaziale James Webb, che si trova in uno dei punti di Lagrange nel sistema Terra-Sole.

Un’altra applicazione importante è quella delle fionde gravitazionali: quando una sonda passa vicino a un pianeta in orbita attorno al Sole, può sfruttare la gravità del pianeta per modificare la propria traiettoria, rendendola più veloce, più lenta o più inclinata. Queste manovre sono fondamentali in ogni missione spaziale e ci permettono di superare il complesso problema dei tre corpi.

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